全国約20人のコメント読者の皆さま、いつもお世話になっております。全国約200人の登録読者の皆さま、読みに来て頂きありがとうございます。全国約2,000人の「相手に知らせず読者」の皆さま、お元気でしょうか。全国約20,000人の１記事累計アクセス読者の皆さま、ご無沙汰しております。
また最近増えて来た、
全国２～３人の高校生・受験生コメント読者の皆さま、お忙しい中ありがとうございます。全国約20人の高校生・受験生登録読者の皆さま、ご苦労様です。全国約200人の高校生・受験生「相手に知らせず読者」の皆さま、調子はいかがですか。全国約2,000人の高校生・受験生１記事累計アクセス読者の皆さま、勉強ははかどっているでしょうか。
さて、今日は20,000人の読者諸氏のうち、特に2,000人の高校生・受験生読者を対象に短い記事を書きたい。完全に高校・大学受験の勉強の話であり、９割以上の読者の方はスルーして頂いて結構である。むしろ、前の記事、さらにその前の記事などをお読み頂ければと考えている。もちろんこの記事にもおつき合い願えれば幸いだが、そんな勉強の話は、
「もう10年以上前のことだからずいぶん使ってないわ。」
「もう20年以上前のことだからさっぱり覚えてません。」
「もう30年以上前のことだから無かったことにしたい。」
「もう40年以上前のことだから高校行ってたんだっけ。」
というのが通り相場だろう。しかし時間の無駄にさせないので飛ばし飛ばし最後まで（最後だけ？）読んで頂けたら有り難い限りである。
で、本題。前記事のアンモナイトと黄金比の部分で、フィボナッチ数列を持ち出したのだが、
「漸化式から一般項の表式を求めることは高校数学の練習問題であるから受験生は解いてみて頂きたい」
としてほおってあった。そうすると有り難いことに、
「トシ先生、アタシのために解いてみてぇ～ん❤」
というハート入りのメッセージを頂いた（多少の脚色あり）。また、
「どうせWikiかなんかコピペしてんじゃねーの。載ってないとこはごまかして。」
という毒入りのメッセージも頂いた。いちいち個別に反論するのも何だから記事にしておこうと思った次第である。もちろん、JKが個別に言って来たら記事になんかせずに手取り足取り指導するところなのだが。(〃∇〃) ｷｬｰ､ｴｯﾁｰ
問題 次の漸化式、
a_n+2 ＝ a_n + a_n+1（初項 a_1＝1, a_2＝2）
で与えられる数列（フィボナッチ数列）の一般項 a_n を求めよ。
解答 与えられた漸化式を、
a_n+2 － α・a_n+1 ＝ β（ a_n+1 － α・a_n ）, …（１）
と置くと元の式との比較により、
α＋β＝１, αβ＝－１.
これを解いて、
α＝(1±√5)/2, β＝(1∓√5)/2（複号同順）.
（α, β）の解のひとつの組を選ぶと式（１）は、
a_n+2 － (1＋√5)/2・a_n+1 ＝ (1－√5)/2（ a_n+1 － (1＋√5)/2・a_n ）
＝ {(1－√5)/2}^n（ a_2 － (1＋√5)/2・a_1 ）
＝ {(1－√5)/2}^(n+1),
すなわち、
a_n+1 － (1＋√5)/2・a_n ＝ {(1－√5)/2}^n. …（２）
（α, β）の解のもうひとつの組を選ぶと同様に、
a_n+1 － (1－√5)/2・a_n ＝ {(1＋√5)/2}^n. …（３）
式（３）から式（２）を差し引いて、
{ (1＋√5)/2 －(1－√5)/2 } a_n ＝ {(1＋√5)/2}^n － {(1－√5)/2}^n.
従って、
a_n ＝ [ {(1＋√5)/2}^n － {(1－√5)/2}^n ]/√5.
上の問題に関して解説も何もないと思うのだが、
「漸化式の勘所（かんどころ）」
を挙げておく。何と言っても元の漸化式を式（１）の形に持って行こうとしなければお話にならない。いろんな公式やテクニックをとにかく覚えなさいというのはレベルの低い予備校。ここではただひとつだけ、
「与えられた漸化式を等比数列の形に持ち込む」
これだけ頭に入れて頂きたい。
もうひとつだけ言うと、
「恋愛の勘所」は「与えられた女子（あるいは男子）を交際の形に持ち込む」
これも頭に入れて頂きたい。理想の彼女（彼氏）は周りにいない、これは譲れない、つきあうのは面倒だのなんだの言ってると「年齢＝彼女（彼氏）いない歴」になる。とりあえずつき合おうよ。ダメだったらフッてくれていいからさぁ。交際から恋愛に発展するって不自然じゃないと思うなー。
あ、交際するっていきなりえっちじゃないからねー。それは結婚してから、なーんて言わないけど恋愛してからねー。その昔、男女交際の「Ａ、Ｂ、Ｃ（Ｄ、Ｅ）」というのがあったと言うけど、昨今はちょっとなぁという「Ｈ、Ｉ、Ｊ、Ｋ」があるらしい。
・Ｈ：えっちする～？
・Ｉ：いぃんじゃね？
・Ｊ：子供（ジュニア）できたけどぉ。
・Ｋ：結婚でもすっかぁ。
今どき珍しくない出来婚を非難するつもりはないが、少なくとも子供が出来る前に恋愛してね♪
何の話からこうなったんだ。ﾟ.＋：｡(＊≧∇≦＊)ﾟ.＋：｡
また最近増えて来た、
全国２～３人の高校生・受験生コメント読者の皆さま、お忙しい中ありがとうございます。全国約20人の高校生・受験生登録読者の皆さま、ご苦労様です。全国約200人の高校生・受験生「相手に知らせず読者」の皆さま、調子はいかがですか。全国約2,000人の高校生・受験生１記事累計アクセス読者の皆さま、勉強ははかどっているでしょうか。
さて、今日は20,000人の読者諸氏のうち、特に2,000人の高校生・受験生読者を対象に短い記事を書きたい。完全に高校・大学受験の勉強の話であり、９割以上の読者の方はスルーして頂いて結構である。むしろ、前の記事、さらにその前の記事などをお読み頂ければと考えている。もちろんこの記事にもおつき合い願えれば幸いだが、そんな勉強の話は、
「もう10年以上前のことだからずいぶん使ってないわ。」
「もう20年以上前のことだからさっぱり覚えてません。」
「もう30年以上前のことだから無かったことにしたい。」
「もう40年以上前のことだから高校行ってたんだっけ。」
というのが通り相場だろう。しかし時間の無駄にさせないので飛ばし飛ばし最後まで（最後だけ？）読んで頂けたら有り難い限りである。
で、本題。前記事のアンモナイトと黄金比の部分で、フィボナッチ数列を持ち出したのだが、
「漸化式から一般項の表式を求めることは高校数学の練習問題であるから受験生は解いてみて頂きたい」
としてほおってあった。そうすると有り難いことに、
「トシ先生、アタシのために解いてみてぇ～ん❤」
というハート入りのメッセージを頂いた（多少の脚色あり）。また、
「どうせWikiかなんかコピペしてんじゃねーの。載ってないとこはごまかして。」
という毒入りのメッセージも頂いた。いちいち個別に反論するのも何だから記事にしておこうと思った次第である。もちろん、JKが個別に言って来たら記事になんかせずに手取り足取り指導するところなのだが。(〃∇〃) ｷｬｰ､ｴｯﾁｰ
問題 次の漸化式、
a_n+2 ＝ a_n + a_n+1（初項 a_1＝1, a_2＝2）
で与えられる数列（フィボナッチ数列）の一般項 a_n を求めよ。
解答 与えられた漸化式を、
a_n+2 － α・a_n+1 ＝ β（ a_n+1 － α・a_n ）, …（１）
と置くと元の式との比較により、
α＋β＝１, αβ＝－１.
これを解いて、
α＝(1±√5)/2, β＝(1∓√5)/2（複号同順）.
（α, β）の解のひとつの組を選ぶと式（１）は、
a_n+2 － (1＋√5)/2・a_n+1 ＝ (1－√5)/2（ a_n+1 － (1＋√5)/2・a_n ）
＝ {(1－√5)/2}^n（ a_2 － (1＋√5)/2・a_1 ）
＝ {(1－√5)/2}^(n+1),
すなわち、
a_n+1 － (1＋√5)/2・a_n ＝ {(1－√5)/2}^n. …（２）
（α, β）の解のもうひとつの組を選ぶと同様に、
a_n+1 － (1－√5)/2・a_n ＝ {(1＋√5)/2}^n. …（３）
式（３）から式（２）を差し引いて、
{ (1＋√5)/2 －(1－√5)/2 } a_n ＝ {(1＋√5)/2}^n － {(1－√5)/2}^n.
従って、
a_n ＝ [ {(1＋√5)/2}^n － {(1－√5)/2}^n ]/√5.
上の問題に関して解説も何もないと思うのだが、
「漸化式の勘所（かんどころ）」
を挙げておく。何と言っても元の漸化式を式（１）の形に持って行こうとしなければお話にならない。いろんな公式やテクニックをとにかく覚えなさいというのはレベルの低い予備校。ここではただひとつだけ、
「与えられた漸化式を等比数列の形に持ち込む」
これだけ頭に入れて頂きたい。
もうひとつだけ言うと、
「恋愛の勘所」は「与えられた女子（あるいは男子）を交際の形に持ち込む」
これも頭に入れて頂きたい。理想の彼女（彼氏）は周りにいない、これは譲れない、つきあうのは面倒だのなんだの言ってると「年齢＝彼女（彼氏）いない歴」になる。とりあえずつき合おうよ。ダメだったらフッてくれていいからさぁ。交際から恋愛に発展するって不自然じゃないと思うなー。
あ、交際するっていきなりえっちじゃないからねー。それは結婚してから、なーんて言わないけど恋愛してからねー。その昔、男女交際の「Ａ、Ｂ、Ｃ（Ｄ、Ｅ）」というのがあったと言うけど、昨今はちょっとなぁという「Ｈ、Ｉ、Ｊ、Ｋ」があるらしい。
・Ｈ：えっちする～？
・Ｉ：いぃんじゃね？
・Ｊ：子供（ジュニア）できたけどぉ。
・Ｋ：結婚でもすっかぁ。
今どき珍しくない出来婚を非難するつもりはないが、少なくとも子供が出来る前に恋愛してね♪
何の話からこうなったんだ。ﾟ.＋：｡(＊≧∇≦＊)ﾟ.＋：｡